Chauffez l'huile d'olive et le beurre dans une grande poêle à feu moyen-vif. Assaisonnez les poitrines de poulet avec du sel et du poivre des deux côtés.

Ajoutez le poulet dans la poêle et faites-le dorer pendant environ 5-7 minutes de chaque côté, jusqu'à ce qu'il soit bien cuit. Retirez le poulet de la poêle et réservez-le sur une assiette.

Dans la même poêle, ajoutez l'oignon haché et faites-le revenir pendant 3-4 minutes jusqu'à ce qu'il devienne translucide. Ajoutez l'ail émincé et faites cuire pendant encore une minute, en remuant constamment.

Versez le bouillon de poulet, en grattant les morceaux dorés au fond de la poêle. Portez à ébullition douce, puis incorporez la crème épaisse, la moutarde à l'ancienne, la moutarde de Dijon et le thym séché. Mélangez bien.

Remettez le poulet dans la poêle, en l'enfonçant dans la sauce crémeuse. Laissez mijoter pendant environ 10 minutes pour que le poulet absorbe les saveurs et que la sauce épaississe légèrement.

Goûtez et ajustez l'assaisonnement avec du sel et du poivre si nécessaire. Retirez la poêle du feu.

Servez le poulet chaud, arrosé de la sauce crémeuse à la moutarde, et garnissez de persil frais haché.